Value at Risk (VaR) e Expected Shortfall

O que é VaR, como calcular (paramétrico, histórico, Monte Carlo), limitações e Expected Shortfall como alternativa para risco de cauda.

Value at Risk (VaR) responde uma pergunta simples: "Qual a perda máxima esperada nos próximos X dias, com Y% de confiança?"

Se o VaR de 1 dia a 95% da sua carteira é R$5.000, significa: há 95% de chance de que a perda em 1 dia não exceda R$5.000. Mas há 5% de chance de perder mais.

"Qual é o risco?" antes de "Qual é o lucro?"

Como funciona

Definição formal

VaR(α) = perda tal que P(perda > VaR) = 1 - α

Onde:
α = nível de confiança (95%, 99%)
1 - α = probabilidade de exceder o VaR

Exemplo

Métrica	Valor
Patrimônio	R$500.000
VaR 1 dia, 95%	R$12.500 (2,5%)
Interpretação	95% de chance de perder no máximo R$12.500 em 1 dia
	5% de chance de perder mais que R$12.500

Métodos de cálculo

1. Paramétrico (variância-covariância)

Pressuposto	Retornos seguem distribuição normal
Fórmula	VaR = Z × σ × Patrimônio
Z (95%)	1,645
Z (99%)	2,326

Exemplo:
Patrimônio: R$500.000
Volatilidade diária: 1,5%
VaR 1 dia, 95% = 1,645 × 1,5% × R$500.000 = R$12.337

Vantagem: simples e rápido. Desvantagem: assume normalidade (caudas reais são mais pesadas).

2. Histórico

Pressuposto	O passado se repete
Método	Ordena retornos históricos, pega o percentil
Exemplo	250 dias de dados → VaR 95% = 13º pior dia

Retornos diários dos últimos 250 dias:
Pior dia: -5,2%
13º pior (5%): -2,8%

VaR 1 dia, 95% = 2,8% × R$500.000 = R$14.000

Vantagem: não assume distribuição. Desvantagem: depende do período histórico (se não teve crise, subestima risco).

3. Monte Carlo

Pressuposto	Simula cenários aleatórios
Método	Gera 10.000+ cenários de preço, calcula distribuição
Exemplo	Simula preços de PETR4, VALE3, WDO por 1 dia

1. Define modelo de retorno (ex: normal, t-Student)
2. Gera 10.000 cenários aleatórios
3. Calcula retorno da carteira em cada cenário
4. VaR = percentil 5% dos retornos

Vantagem: flexível (pode modelar caudas pesadas, correlações complexas). Desvantagem: computacionalmente custoso, depende do modelo.

Limitações do VaR

Limitação	Problema
Não diz o tamanho da perda além do VaR	R$12.500 de VaR não diz se a perda pode ser R$15.000 ou R$50.000
Não é subaditivo	VaR de A + VaR de B pode ser menor que VaR(A+B)
Depende do modelo	Se o modelo erra, o VaR erra
Não captura caudas grossas	Eventos extremos (black swans) não aparecem
É uma medida de quantil, não de expectativa	Diz "5% das vezes", não "quanto em média perde nos 5%"

Expected Shortfall (CVaR)

O que é

O Expected Shortfall (ou Conditional VaR) responde: "Se eu estiver nos piores 5% dos cenários, qual é a perda média?"

ES(α) = E[perda | perda > VaR(α)]

VaR vs Expected Shortfall

	VaR	Expected Shortfall
Pergunta	Qual a perda máxima com 95% de confiança?	Qual a perda média nos piores 5%?
Captura caudas?	Não	Sim
Subaditivo?	Não	Sim
Regulatório	Mais usado historicamente	Basel III exige ES

Exemplo

VaR 95%: R$12.500 (13º pior dia)
ES 95%: R$18.000 (média dos 12 piores dias)

Interpretação: quando as coisas dão errado (5% das vezes),
a perda média é R$18.000 — maior que o VaR.

VaR da carteira vs VaR de ativo único

Conceito	Fórmula
VaR individual	Z × σ × posição
VaR de carteira	√(w'Σw) × Z × patrimônio
Diversificação	VaR carteira < soma dos VaR individuais

Exemplo

Ativo	Posição	σ diária	VaR individual 95%
PETR4	R$200.000	2,0%	R$6.580
VALE3	R$200.000	1,8%	R$5.922
ITUB4	R$100.000	1,2%	R$1.974
Total	R$500.000		R$14.476 (soma)
Carteira (correlação 0,5)		1,3%	R$10.766

Efeito diversificação: R$14.476 - R$10.766 = R$3.710 de risco eliminado.

O que fazer com isso agora?

Calcule o VaR da sua carteira — mesmo que aproximado
Use o histórico se não tem modelo — olhe os piores 5% dos dias
Expected Shortfall > VaR para entender o risco de cauda
Diversificação reduz o VaR — não coloque tudo em um ativo
Recalcule periodicamente — a volatilidade muda

Referências

arXiv — Risk Management
Investimentos Safe Haven — Mark Spitznagel (2023)
The Black Swan — Nassim Taleb

Value at Risk (VaR) e Expected Shortfall

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